【数学勉強法】図形の問題をひらめきじゃなくて論理で解く最強の方法

 

こんにちは、数学科大学生中の谷のナウシカです!

 

受験シーズンですが、塾で図形の問題を教えていると圧倒的に次のような場面が多いです。

図形なんてひらめかないと解けないよ!

受験生

確かに図形の問題はひらめきがないと解けないように思われがちです。ですが、ぼくは図形の問題こそ論理的に解いていくことをおすすめしています。むしろひらめきなんて全く必要ありません

そこで今回は図形の問題を論理的に解いていく方法を紹介します。(受験生向け)

 

図形の問題の解き方

図形の問題を次の4つの中からどの手段で解くのかを選ぶ

  1. 図形の性質 (数A)
  2. 図形と方程式 (数Ⅱ)
  3. ベクトル (数B)
  4. 複素数平面 (数Ⅲ)

答えから逆算して考える

③ 求める部分がどんな図形に含まれているかに着目

④ 2通りで表して方程式を立てる

よくある問題を例にして説明していきます。

例題

下の図でAD = DB = EC = 2, BC = 5, AE = 4,  のときAFの長さを求めよ.

 

頭の中

①図形を解く手段は次の4通りがあったことを思い出します。

  1. 図形の性質
  2. 図形と方程式
  3. ベクトル
  4. 複素数平面

ぼくはベクトルが好きなので「ベクトル」で解こうと考えます。別に「図形の性質」「図形と方程式」「複素数平面」を選んでも構いません。(解けなかったら他の手段を試してみればいいだけ。困ったらとりあえずベクトルで解けば何とかなる。)

 

② 「AFの長さを求める」というゴールから次のように逆算して考えていきます。(すべてのベクトルは2つの基準となるベクトルで表すことのできることに注意 )

 

 

③ ④ 点Fは線分BEと線分CDの交点です。

交点は「2つの直線(線分)の交わった点」なので、点Fは「線分BE上の点」「線分CD上の点」と2通りの見方をすることができます。これを使ってAFを2通りに表すことができます。

そもそも、方程式を立てるときには同じものを最低2通りで表さないと解けません。

図形も同じです。「全体の三角形の面積」を「分けた三角形の面積の和」で表したり、「体積」を「底辺×高さ×1/3」で表して辺の長さを求めたり、実はいろいろな所で「2通りに表す」を使っています。

では実際に解いていきましょう。

補足

内積は余弦定理の一部分であったことを使っています。(教科書に書いてあるよ)

 

まとめ

図形の問題こそ、論理的に考えることではるかに解きやすくなります。

また、今回の問題を何となくやれば解けちゃう人もいると思います。そういう人こそ、自分の思考過程をことばで表してみることが大切です。自分がどうやって論理的に考えているのかを知ることで、より複雑な問題にも対応できるようになっていきます!

 

あらゆる問題は細かく分けると教科書レベルの問題まで分割することができます。今回だと「交点の位置ベクトルの求め方」「ベクトルの大きさの求め方」「内積の求め方」と、分けられますね。

先生が口酸っぱく「基本が大切だ」と言うのは、細かく分けた個々の問題をまずは解けるようにならないと、それらを組み合わせた応用問題も解くことができないからです。

やっぱり基本が大切ですね!

 

では(^^)/~~~

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