【高校数学】「必要条件・十分条件」教科書の説明が雑すぎる

 

こんにちは、数学科大学生ブロガー中の谷のナウシカです。

 

今回は「必要条件・十分条件」について、教科書の定義への不満をぶちまけます。

 

教科書で「必要条件・十分条件」は次のように説明されています。

2つの条件p, qについて, 命題 p ⇒ q が真であるとき,

p は q であるための 必要条件 である,

q は p であるための 十分条件 である

という。

具体例として次のようなものが載っています。

x は実数とする。命題「x = 3 ⇒ x² = 9」は真であるから

x² = 9 は x= 3 であるための必要条件であり,

x = 3 は x² = 9 であるための十分条件である。

 

習いたてならともかく、いまだに「だから何?」と感じずにはいられないような中身のない説明。

「結論」は「仮定」であるための必要条件、「仮定」は「結論」であるための十分条件。

この入れ替え操作に何の意味があるのか?いやいや何も意味ないでしょ。

「必要条件・十分条件」は2つの条件の強弱を表した単語にすぎません。この単語に意味があるというよりかは、2つの条件の関係性を理解することに重きが置かれるべきではないでしょうか?

 

そして数学の世界や実生活では、入れ替え操作で2つの条件の関係性を理解するよりも、ある目標を達成するための条件として、それよりも強い条件や弱い条件を考えていくものです。

 

たとえば、数学のテストで80点を取る目標があったとします。

ナウシカ

楽したいから公式だけ覚えていけばいいや!

テストの結果はおそらく悲惨なものになってるでしょうね。

テストで80点を取れるような人は当然公式は覚えているでしょうが、公式だけ覚えているからといって、必ずしも80点を取れるようになるとは限りません。

 

ナウシカ

悔しいからありとあらゆる問題を全部解けるようにしよう!

実際にありとあらゆる問題を全部解けるようにしたら点数はどうなるでしょうか?

80点ぐらい余裕で取ることができるでしょう。100点を取ることだって可能です。しかし、実際にはもうちょっと楽をして80点を取れる方法があると思いませんか?

 

この例において、「公式だけ覚えていく」ことは80点を取るという目標に対して、最低限「必要」なことです。ですが、最低限「必要」なことだけをしても目標を達成することはできません。

反対に、「ありとあらゆる問題を解けるようにする」ことで80点を取るという目標は「十分」に達成することができます。

 

ここで「公式だけ覚えていく」ことは「テストで80点を取る」ための「必要条件」

「ありとあらゆる問題を解けるようにする」ことは「テストで80点を取る」ための「十分条件」といいます。

 

目標に対して、目標を達成するためには最低限必要だけどそれだけでは不十分な緩い条件のことを「必要条件」やれば絶対目標を達成できるけどもうちょっと楽しても達成できる厳しい条件のことを「十分条件」と呼ぶのです。

実際には必要条件をだんだんと厳しくしていったり、十分条件を徐々に緩めていくことで目標を達成するために過不足なくクリアすればいい条件(必要十分条件)を探していきます。

 

こういった説明を踏まえずに、「矢印を二本引いて、○が付いた方の根元を見て…」とかやってると十分性を確認しなければいけない問題でなんでこんなことをしなければいけないのか理解不能に陥ってしまいます。「人間である⇒動物である」の例も同じです。「だから何?」のオンパレード。

学ぶものがどう活かされるのかを知ると学ぶモチベーションに繋がります。実生活へのオープンな活用だけでなく、数学の世界のためのクローズドな活用も当然ありますし、その両方が必要です。

 

では(^^)/~~~

 

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