【代数学】Zが単項イデアル整域であることの証明

 

こんにちは、数学科大学生の中の谷のナウシカです。

 

今回は「単項イデアル整域」と、その例「整数環 Z が単項イデアル整域であること」を証明します。

 

単項イデアル整域とは

 

単項イデアル整域の定義

整域 R の任意のイデアルが単項イデアルであるとき、つまり、a ∈ R によって (a) となるとき R を「単項イデアル整域」という。

 

補足『整域』の定義

環 R が可換環で、R の 0 でない任意の元 a, b に対し、ab ≠ 0 となるとき、R を整域であるという。

補足『イデアル』の定義

R を可換環とする。部分集合 I ⊂ R が次の条件 (1), (2) を満たすとき、R のイデアルであるという。

(1) 任意の a, b ∈ I に対し、 a + b ∈ I である。( I は R の加法に関して閉じている)

(2) 任意の a ∈ R、 x ∈ I に対し、ax ∈ I である。

補足『単項イデアル』の定義

Rを環、a を Rの元とする。

Ra = { ra |r ∈ R } を単項イデアルとよび、(a) と表す。

単項イデアル整域の例「整数環 Z」

 

単項イデアル整域の例

整数環 Z は単項イデアル整域

 

以下その証明をしていきます。

 

Zのイデアル I を任意に取る。

I = (0) のときは明らかに I は単項イデアルなので Z は単項イデアル整域。

I ≠ (0)とする。

a ∈ I ( a ≠ 0 ) を I の元の中で最小のものとする。

I = (a) となることを示す。

 

まず、I ⊃ (a) であることを示す。

(a) の元 x を任意にとると、x = ar ( r ∈ Z ) と表すことができる。

a ∈ I かつ r ∈ Z なので ar ∈ I

よって、x ∈ I

以上より I ⊃ (a) であることは示された。

 

次に I ⊂ (a) であることを示す。

I の元 p を任意に取ると、p = aq + r ( p, r ∈ Z, | a | > | r | ≥ 0 ) と表すことができる。

等式を変形すると、r = p – aq となり、p、aq ∈ I より r ∈ I である。

ここで、a は I の元の中で最小であることと、r ∈ Z で | a | > | r | ≥ 0 だったことから、

r = 0 となる。

よって p = aq となり、aq ∈ (a) より p ∈ (a)

以上より I ⊂ (a)

よって I = (a) となるので Z の任意のイデアルは単項イデアル。

ゆえに Z は単項イデアル整域である。

 

 

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)