【代数学】単項イデアル整域の例、有理数の部分環

 

こんにちは、数学科大学生の中の谷のナウシカです。

 

今回は「単項イデアル整域」とその例「素数 p に対し、( n, p ) = 1 であるような有理数 m/n の集合を R としたとき、Rは単項イデアル整域である」ことを証明します。

注意

( n, p ) = 1 とは、「n と p の最大公約数が 1 である」ということです。

 

単項イデアル整域とは

 

単項イデアル整域の定義

整域 R の任意のイデアルが単項イデアルであるとき、つまり、a ∈ R によって (a) となるとき R を「単項イデアル整域」という。

 

補足『整域』の定義

環 R が可換環で、R の 0 でない任意の元 a, b に対し、ab ≠ 0 となるとき、R を整域であるという。

補足『イデアル』の定義

R を可換環とする。部分集合 I ⊂ R が次の条件 (1), (2) を満たすとき、R のイデアルであるという。

(1) 任意の a, b ∈ I に対し、 a + b ∈ I である。( I は R の加法に関して閉じている)

(2) 任意の a ∈ R、 x ∈ I に対し、ax ∈ I である。

補足『単項イデアル』の定義

Rを環、a を Rの元とする。

Ra = { ra |r ∈ R } を単項イデアルとよび、(a) と表す。

 

単項イデアル整域の例

 

単項イデアル整域の例

「素数 p に対し、( n, p ) = 1 であるような有理数 m/n の集合を R としたとき、Rは単項イデアル整域である」

 

以下、証明していきます。

 

まず、R ⊂ Q が部分環であることを示す。( Q は有理数全体、Qは可換環)

a/b, c/d ∈ R とする。( b, p ) = 1, ( d, p ) = 1 より、( bd, p ) = 1

a/b + c/d = ( ad + bc ) / bd ∈ R、a/b * c/d ∈ R、- ( a/b ) = ( – a ) / b ∈ R

よって R ⊂ Q は部分環。

 

R のイデアル I を任意にとる。

 

I が単元を含むとき

I = R = (1)

よって R の任意のイデアル I は単項イデアルなので R は単項イデアル整域。

 

I が単元を含まないとき

I ⊂ (p) であることを示す。

I の元 a/b を任意にとる。

a/b は単元でないので、a,b ∈ Z、( a, p ) ≠ 1, ( b, p ) = 1 

よって a = pc ( c ∈ Z ) と表すことができる。

このとき、a/b = pc/b = (c/b)p ∈ (p) よって I ⊂ (p)

 

(p) ⊂ I であることを示す。 

Z のイデアル I ∩ Z を考える。

Z は単項イデアル整域なので I ∩ Z = (m) ( m ∈ Z )と表せる。

(m) の任意の元 m について、m ∈  I ∩ Z ⊂I である。

I は単元を含まないので、( m, p ) ≠ 1 つまり、m = pu ( u ∈ Z) である。

ゆえに (m) = (p)

よって (p) = I ∩ Z ⊂ I である。

 

以上より、I = (p)

ゆえに R は単項イデアル整域

 

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