【代数学】ユークリッド整域とその例 Z[√2], Z[ω]

 

こんにちは、数学科大学生の中の谷のナウシカです。

今回はユークリッド整域とその例 Z[√2], Z[ω] について説明します。

 

ユークリッド整域とは

『ユークリッド整域』の定義

整域 R が次の条件を満たすとき、R は「ユークリッド整域」であるという。

写像 d : R\{0} → N が存在し、a, b ∈ R、b≠0に対し、q, r ∈ R が存在して a = qb + r と表され、r = 0 または d(r) < d(b) となる。

つまり、「ユークリッド整域」であることを示すには、

  1. 写像 d : R\{0} → N を自分で決めて、
  2. a, b ∈ R、b≠0 を取ったときに a = qb + r となるように自分で q, r ∈ R を決めて、
  3. r = 0 または d(r) < d(b) となっていること

を示していけばOKです。

 

補足『整域』の定義

環 R が可換環で、R の 0 でない任意の元 a, b に対し、ab ≠ 0 となるとき、R を整域であるという。

 

ユークリッド整域の例 Z[√2]

 

ユークリッド整域の例

Z[√2] = { a + b√2 |a, b ∈ Z } はユークリッド整域である。

 

以下証明をしていきます。

 

d : Z[√2]\{0} → N を d( a + b√2 ) = | a² – 2b² | と定める。

0でない元 x ∈ Z[√2] を任意にとる。

このとき、0 でない元 y ∈ Z[√2] を任意にとると、

x/y ∈ Q[√2]\{0} となる。

x/y = a + b√2 ( a, b ∈ Q ) とおく。

a, b にもっとも近い整数を a’, b’ とする。

ここで q = a’ + b’√2 、r = x – yq とすると、

q, r ∈ Z[√2] である。

r/y = x/y – q = ( a + b√2 ) – ( a’ + b’√2 ) = ( a – a’ ) + ( b – b’ )√2

d( r/y ) = d( r )/d( y ) = d( ( a – a’ ) + ( b – b’ )√2 ) = | ( a – a’ )² – 2( b – b’ )² |

≦ | a – a’ |² + 2| b – b’ |² ≦ ( 1/2 )² + 2( 1/2 )² = 3/4 < 1

よって d( r ) < d( y )

 

以上より Z[√2] がユークリッド整域である。

 

注意

a + b√d ∈ Q[√d] に対して N( a + b√d ) = a² – db² ∈ Q とおく。

これを環 Q[d] のノルムという。

 

ノルムには次のような性質がある。

  1. x ∈ Z[√d] なら、N( x ) ∈ Z
  2. 任意の x, y ∈ Q[√d] に対し、N( xy ) = N( x ) N( y )である。

 

補足

d( a + bω ) =a² – ab + b² とすることで Z[ω] がユークリッド整域であることも示すことができる。

 

では(^^)/~~~

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