【高校数学】「平均値の定理」を具体例と共に解説!”c”ってなんぞや?



こんにちは、数学ブロガーナウシカです。

 

この記事はこんな人におすすめ

・「平均値の定理」が何を言いたいのか知りたい!

・”c” ってなんだよ!

・「平均値の定理」を使った具体例を知りたい!

 

今回は数Ⅲで習う「平均値の定理」について説明します!

「平均値の定理」っていまいちフワッとしていて何が言いたいのかよく分からない定理ですよね。「平均値の定理」のポイントは “存在を保証している” ところにあります。

この記事では「平均値の定理」の “cって何なのか” “使い方の具体例” について解説していきます。

理系で上位の大学を狙っている人はぜひ、理解しておきましょう!

 

「平均値の定理」とは

 

平均値の定理

\(a < b\), \(f(x)\) を閉区間 \([a, b]\) で連続, 開区間 \((a, b)\) で微分可能とする. このとき, 開区間 \((a, b)\) 上にある点 \(c\) が存在して,

 

\( \dfrac {f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}=f’\left( c\right) \)

 

が成り立つ.

 

“c” とは何なのか?「平均値の定理」の意味

 

「平均値の定理」をわかりやすい日本語に翻訳すると次のようになります。

\(a < b\), 閉区間 \([a, b]\) で連続, 開区間 \((a, b)\) で微分可能な関数 \(y = f(x) \) について絶対成り立つ性質があるんですよ。

どんな性質かっていうと、「区間のはじっこの点とはじっこの点を結んだ直線の傾きと、同じ傾きを持つ接線が区間上に100%最低1本はあるんだよ」という性質。

 

数式で説明するね。

 

\( \dfrac {f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}=f’\left( c\right) \) っていう関係式に当てはまるような、関数 \(y = f(x)\) 上の接点の \(x\) 座標の値 \(c\) が区間 \((a, b)\) の中のどっかにかならずあるよ!

ってこと。

 

 

理解できたでしょうか??

「平均値の定理」が何を言いたいのかというと、「\(c\) が必ず区間 \((a, b)\) 上にある」ということ。

「\(c\) とは何か?」というと、「接点の\(x\)座標」のこと。

「何の接点か?」というと、関数と「区間の端と端を結んだ直線の傾きと、同じ傾きを持つ関数上の接線」との接点。

 

つまり、「平均値の定理」とは、「区間の端と端を結んだ直線と同じ傾きを持つような接線が、区間内に必ず存在することを保証している定理」なのです!

 

ナウシカ

接線が必ず存在していることを、接点の\(x\)座標が必ず存在することだと読みかえているのがうまい

 

「平均値の定理」は何の役に立つのか?

 

残念ながら、「平均値の定理」は高校数学ではほとんど役に立ちません

問題として登場するのは、上位の国公立を受験する理系の人以外、定期テストだけですね。

 

一応、数学の世界では「テイラーの定理」や「微分積分学の基本定理」という超重要な定理の証明に「平均値の定理」が役立っています。縁の下の力持ち的な存在ですね。

 

「平均値の定理」を使った問題の例

 

「平均値の定理」を使った例題

閉区間 \([0, \dfrac {\pi }{2}]\) 上で連続な関数 \(f(x) = x\cos x\) において, \(f'(x) = 0\) となるような実数 \(x\) が閉区間 \([0, \dfrac{\pi}{2}]\) 上に存在することを示せ.

 

証明)

平均値の定理を用いると、

 

\(f’\left( c\right) = \dfrac {f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) -f\left( 0\right) }{\dfrac{\pi}{2} – 0} = 0\)

 

となるような実数 \(c\) が区間 \([0, \dfrac{\pi}{2}]\) 上に存在する。

よって実数 \(x\) としてこの \(c\) を取ることで題意は示された。

 

まとめ

 

「平均値の定理」とは、「区間の端と端を結んだ直線と同じ傾きを持つような接線が、区間内に必ず存在することを保証している定理」のことでした。

慣れるまでは有用性がわかりにくいですが、この機会に勉強してみるといいですよ!

 

では(^^)/~~~

 

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)